Логарифмы и их свойства

Определение

Число $$c$$ называется логарифмом положительного числа $$b$$ по основанию числа $$a,$$ большего нуля и неравного единице, если $$a$$ в степени $$c$$ равно $$b:$$

$$\log_{a}b=c\Leftrightarrow a^c=b\;(a>0,a\neq1,b>0).$$

Обозначения

Десятичный логарифм: $$\lg b=\log_{10}b.$$

Натуральный логарифм: $$\ln b=\log_{e}b$$ ($$e\approx 2.71$$…).

Свойства логарифмов

  • $$a^{\log_{a}b}=b\;(a>0,a\neq1,b>0)$$

 

 

  • $$\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}|b|+\log_{a}|c|\;(a>0,a\neq1,b\cdot c>0)$$

 

 

  • $$\log_{a}\left (\frac{b}{c} \right )=\log_{a}|b|-\log_{a}|c|\;\left (a>0,a\neq1,\frac{b}{c}>0 \right )$$

 

 

  • $$\log_{a^{\alpha }}b^{\beta}=\frac{\beta}{\alpha}\log_{|a|}|b|\;\left (a\neq0,|a|\neq1,\alpha\neq0,b^{\beta}>0\right )$$

 

 

  • $$\log_{a}b^{\alpha}=\alpha\log_{a}|b|\;\left (a>0,a\neq1,b^{\alpha}>0 \right )$$

 

 

  • $$\log_{a}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}\log_{a}b\;\left (a>0,a\neq1,b>0,n\neq0 \right )$$

 

 

  • $$\log_{a^{\alpha}}b=\frac{1}{\alpha}\log_{|a|}b\;\left (a\neq0,|a|\neq1,b>0,\alpha\neq0 \right )$$

 

  • $$\log_{a}b=\log_{a^{\alpha}}b^{\alpha}\;(a>0,a\neq1,b>0, \alpha\in \mathbb{R})$$

 

  • $$\log_{a}a=1\;(a>0,a\neq1)$$

 

  • $$\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}\;(a>0,a\neq1,b>0,b\neq1)$$

 

  • $$\log_{a}1=0\;\left (a>0,a\neq1 \right )$$

 

  • $$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\;\left (a>0,a\neq1,b>0, c>0, c\neq1 \right )$$

 

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.