Геометрия

Задание 31 (объем равногранного тетраэдра)

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию геометрическую задачу на нахождение объема равногранного тетраэдра.

Задача

В треугольной пирамиде все четыре грани являются равнобедренными треугольниками с основанием \sqrt{14} и боковой стороной 4. Найти объем пирамиды.

Решение:

Вспомним некоторые определения.

Определение 1:

Тетраэдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Определение 2:

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные треугольники.

Определение 3:

Отрезки, каждый из которых соединяет середины противоположных (скрещивающихся) ребер тетраэдра, называются его бимедианами (средними линиями).

Так как грани треугольной пирамиды по условию являются равными равнобедренными треугольниками, то данная пирамида является равногранным тетраэдром DABC:

DA=BC=DB=AC=4,DC=AB=\sqrt{14}.

Проведем в рассматриваемом равногранном тетраэдре бимедианы \delta_1=PQ\delta_2=EF и \delta_3=MN.

Равногранный тетраэдр

Объем равногранного тетраэдра равен трети от произведения бимедиан, то есть V=\frac{1}{3}\delta_1\delta_2\delta_3.

\delta_1^2=PQ^2=\frac{1}{2}(DB^2+DC^2-DA^2)=\frac{1}{2}(16+14-16)=7\Rightarrow \delta_1=\sqrt{7}

\delta_2^2=EF^2=\frac{1}{2}(DC^2+DA^2-DB^2)=\frac{1}{2}(14+16-16)=7\Rightarrow \delta_2=\sqrt{7}

\delta_3^2=MN^2=\frac{1}{2}(DA^2+DB^2-DC^2)=\frac{1}{2}(16+16-14)=9\Rightarrow \delta_3=3

Тогда объем равен:

V=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot3=7

Ответ: 7.

Подробней со свойствами тетраэдра Вы можете ознакомиться в пособии: Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства. — М.: МЦНМО, 2006. — 256 с.: ил.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!