В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию геометрическое задание на соответствие логических пар, взятое из пособия “Математика: Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання”, но без опечатки, присутствующей в пособии.
Задание
Две плоскости, пересекающиеся под углом 60°, касаются сферы. Установить соответствие между площадью сферы (1-4) и расстоянием от центра сферы до линии пересечения плоскостей (А-Д).
| 1 | $$36\pi$$ см2 | А | $$8\sqrt{3}$$ см |
| 2 | $$12\pi$$ см2 | Б | $$6$$ см |
| 3 | $$48\pi$$ см2 | В | $$2\sqrt{3}$$ см |
| 4 | $$192\pi$$ см2 | Г | $$5\sqrt{3}$$ см |
| Д | $$4\sqrt{3}$$ см |
Решение:
Дана сфера с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ касаются сферы соответственно в точках $$A$$ и $$B$$ (каждая плоскость лишь в 1 точке).
Проведем плоскость через точки $$O,A,B$$. Обозначим точку полученной плоскости и принадлежащую линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ точкой $$C$$. Перейдем к задаче на плоскости.
Вспомним определение и свойства касательной к окружности.
Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойства:
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
По условию $$\angle ACB=60^{\circ}$$. $$AC$$ и $$BC$$ – касательные к окружности. $$OA=OB=R$$.
Из второго свойства имеем $$\angle ACO=\angle BCO=\frac{\angle ACB}{2}=30^{\circ}$$.
Из первого свойства следует, что треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$ прямоугольные $$\left ( \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ} \right ).$$ $$OA,AC$$ и $$OB,BC$$ – катеты, $$OC$$ – гипотенуза.
Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит $$OC=2R$$.
Площадь сферы вычисляется по формуле $$S=4\pi R^2$$, тогда радиус равен $$R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$.
Тогда $$OC=2\sqrt{\frac{S}{4\pi}}$$.
Установим соответствие между площадью сферы (1-4) и расстоянием от центра сферы до линии пересечения плоскостей (А-Д).
- $$OC=2\sqrt{\frac{36\pi}{4\pi}}=6$$ (см), т.е. 1-Б.
- $$OC=2\sqrt{\frac{12\pi}{4\pi}}=2\sqrt{3}$$ (см), т.е. 2-В.
- $$OC=2\sqrt{\frac{48\pi}{4\pi}}=4\sqrt{3}$$ (см), т.е. 3-Д.
- $$OC=2\sqrt{\frac{192\pi}{4\pi}}=8\sqrt{3}$$ (см), т.е. 4-А.