Геометрия

Задание 37 («Готуємось до ЗНО» №40.25)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вашему вниманию геометрическое задание на соответствие логических пар, взятое из пособия «Математика: Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання», но без опечатки, присутствующей в пособии.

Задание

Две плоскости, пересекающиеся под углом 60°, касаются сферы. Установить соответствие между площадью сферы (1-4) и расстоянием от центра сферы до линии пересечения плоскостей (А-Д).

1  36\pi см2 А  8\sqrt{3} см
2  12\pi см2 Б  6 см
3  48\pi см2 В  2\sqrt{3} см
4  192\pi см2 Г  5\sqrt{3} см
Д  4\sqrt{3} см

Решение:

Дана сфера с центром в точке O и радиусом R. Плоскости \alpha и \beta касаются сферы соответственно в точках A и B (каждая плоскость лишь в 1 точке).

Проведем плоскость через точки O,A,B. Обозначим точку полученной плоскости и принадлежащую линии пересечения плоскостей \alpha и \beta точкой C. Перейдем к задаче на плоскости.

Задание 40.25. Капиносов

Вспомним определение и свойства касательной к окружности.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

По условию \angle ACB=60^{\circ}. AC и BC — касательные к окружности. OA=OB=R.

Из второго свойства имеем \angle ACO=\angle BCO=\frac{\angle ACB}{2}=30^{\circ}.

Из первого свойства следует, что треугольники \triangle OAC и \triangle OBC прямоугольные \left ( \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ} \right ). OA,AC и OB,BC — катеты, OC — гипотенуза.

Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен  половине  гипотенузы, значит OC=2R.

Площадь сферы вычисляется по формуле S=4\pi R^2, тогда радиус равен R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}.

Тогда OC=2\sqrt{\frac{S}{4\pi}}.

Установим соответствие между площадью сферы (1-4) и расстоянием от центра сферы до линии пересечения плоскостей (А-Д).

  • OC=2\sqrt{\frac{36\pi}{4\pi}}=6 (см), т.е. 1-Б.
  • OC=2\sqrt{\frac{12\pi}{4\pi}}=2\sqrt{3} (см), т.е. 2-В.
  • OC=2\sqrt{\frac{48\pi}{4\pi}}=4\sqrt{3} (см), т.е. 3-Д.
  • OC=2\sqrt{\frac{192\pi}{4\pi}}=8\sqrt{3} (см), т.е. 4-А.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!