Алгебра

Задание 4 (уравнение 4-й степени)

Решить уравнение:

$$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$$

Решение:

Материалы по теме: Формулы сокращенного умножения, Корни квадратного уравнения.

$$2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2-13(x-1)(x^2+x+1)=0$$

Сделаем замену:

$$x^2+x+1=a$$

$$x-1=b$$

Получили квадратное уравнение:

$$2a^2-13ab-7b^2=0$$

$$a^2-2\cdot a\cdot\frac{13}{4}b-\frac{7}{2}b^2=0$$

$$\left (a^2-2\cdot a\cdot\frac{13}{4}b+\frac{169}{16}b^2 \right )-\frac{169}{16}b^2-\frac{7}{2}b^2=0$$

$$\left( a-\frac{13}{4}b \right )^2-\frac{169+56}{16}b^2=0$$

$$\left( a-\frac{13}{4}b \right )^2-\frac{225}{16}b^2=0$$

$$\left( a-\frac{13}{4}b \right )^2-\left (\frac{15}{4}b \right )^2=0$$

$$\left( a-\frac{13}{4}b -\frac{15}{4}b\right )\left( a-\frac{13}{4}b +\frac{15}{4}b\right )=0$$

$$\left( a-\frac{28}{4}b \right )\left( a+\frac{2}{4}b\right )=0$$

$$\left( a-7b \right )\left( a+\frac{1}{2}b\right )=0$$

Обратная замена:

$$(x^2+x+1-7x+7)(x^2+x+1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})=0$$

$$(x^2-6x+8)(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2})=0$$

$$x^2-6x+8=0$$ или $$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$$

Применим теорему Виета:

$$\begin{matrix} x^2-6x+8=0 & \; & x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0\\ x_{1}+x_{2}=6\;\;\;\;\;\;\: & \; &x_{3}+x_{4}= -\frac{3}{2}\;\;\;\, \, \\ x_{1}\cdot x_{2}=8\;\;\;\;\;\;\;\: \, & \; & x_{3}\cdot x_{4}=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\:\, \\ x_{1}=2, x_{2}=4\;\;\; & \; & \;\;\;x_{3}=-\frac{1}{2}, x_{4}=-1 \end{matrix}$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!