Линейная Алгебра

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь

СЛР в загальному вигляді

\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & ... & + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1}\\ a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + & ... & + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ \cdots & & & & & & & & \\ a_{m1}x_{1} & + & a_{m2}x_{2} & + & ... & + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \end{matrix}\right.

x_{i} — невідомі (i=\overline{1,n}), a_{ij} — коефіцієнти системи (i=\overline{1,m},j=\overline{1,n}), b_{i} — вільні члени (i=\overline{1,m}).


Система, що не має розв’язку, називається несумісною. Система, що має хоча б одне рішення, називається сумісною. Сумісна система може мати одне або кілька рішень. Система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною. Система, що має кілька розв’язків, називається невизначеною.

Приклади визначеної та невизначеної систем
Система

\left\{\begin{matrix} x_{1} &+ &4x_{2} &= & -2\\ x_{1}& - & 3x_{2}& = & 5 \end{matrix}\right.

сумісна і має єдине рішення x_{1}=2,\; x_{2}=-1.

Система

\left\{\begin{matrix} 3x_{1} &+ &4x_{2} &= & 0\\ 9x_{1}& +& 12x_{2}& = & 0 \end{matrix}\right.

сумісна, але має безліч розв’язків: x_{1}=4,\; x_{2}=-3;\; x_{1}=-8,\; x_{2}=6; і так далі.


Розширена матриця
Припишемо до матриці A системи стовпець вільних членів B, тоді отримаємо розширену матрицю {A}':
{A}'=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &... &a_{1n} &b_{1} \\ a_{21} & a_{22} &... &a_{2n} &b_{2} \\ \cdots & & & & \\ a_{m1} & a_{m2} &... &a_{mn} &b_{m} \end{pmatrix}

Теорема Кронекера-Капеллі
Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангові розширеної матриці.

Ранг матриці
Рангом матриці A називається найбільший порядок мінора, відмінного від нуля. Таким чином матриця A має ранг r, якщо серед її мінорів існує хоча б один мінор порядку r, відмінний від нуля, а всі мінори порядку \left (r+1 \right ) і вище дорівнюють нулю або не існують.

Ранг нульової матриці дорівнює нулю.

Якщо матриця A – квадратна, порядку n, то її ранг r\leqslant n.

Якщо матриця  A має розмір (m\times n), то її ранг r буде не більш найменшого з чисел m і n, тобто r\leqslant \min\left \{ m,n \right \}.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, тобто можна суттєво спростити процес знаходження рангу матриці.

Використовуючи елементарні перетворення, можна матрицю привести до трикутникового виду. Число ненульових діагональних елементів трикутникового виду матриці дає величину ранга r.

Теорема. Якщо ранг матриці A дорівнює r, то існує r лінійно незалежних рядків (стовпців), від яких лінійно залежать всі інші рядки (стовпці).

З теореми випливає, що число лінійно незалежних рядків співпадає з числом лінійно незалежних стовпців і дорівнює рангові.

Приклад
Визначити сумісність системи

\left\{\begin{matrix} x_{1} & + & x_{2} & - & 3x_{3} & = & -1\\ 2x_{1} & + & x_{2} & - & 2x_{3} & = & 1\\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 3\\ x_{1} & + & 2x_{2} & - & 3x_{3} & = & 1 \end{matrix}\right.

Розв’язування.

Для визначення сумісності системи скористаємося теоремою Кронекера-Капеллі. Для цього знайдемо ранг матриці A і ранг розширеної матриці системи {A}'.

Випишемо матрицю системи A, стовпець вільних членів B і розширену матрицю {A}':

A=\begin{pmatrix} 1 & 1&-3 \\ 2 & 1 & -2\\ 1& 1 & 1\\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 3\\ 1 \end{pmatrix},\; {A}'=\begin{pmatrix} 1 & 1&-3 &-1\\ 2 & 1 & -2&1\\ 1& 1 & 1&3\\ 1 & 2 & -3&1 \end{pmatrix}.

Ранг матриці A не може бути більш 3, але існує мінор третього порядку, що не дорівнює нулю:

\begin{vmatrix} 1 & 1 &-3 \\ 2& 1& -2\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{matrix} \rightarrow \\ \; \\ \; \end{matrix}\begin{vmatrix} 0 & 0 &-4 \\ 2& 1& -2\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-4\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-4\neq0

Таким чином, r(A)=3. Обчислимо ранг розширеної матриці {A}', її визначник:

\begin{vmatrix} 1 & 1& -3&-1 \\ 2 & 1 & -2& 1\\ 1 & 1 & 1&3 \\ 1 & 2& -3& 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 1& -3&-1 \\ 1 & 1 & -2& 1\\ 0 & 1 & 1&3 \\ -1 & 2& -3& 1 \end{vmatrix}=\begin{matrix} \begin{matrix} \downarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\:& & & \end{matrix}\\ \begin{vmatrix} 0 & 1& -3&-1 \\ 1 & 1 & -2& 1\\ 0 & 1 & 1&3 \\ 0 & 3& -5& 2 \end{vmatrix} \end{matrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 1 & -3 & -1\\ 1 & 1 & 3\\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix}==-\begin{vmatrix} 0 & -4 & -4\\ 1 & 1 & 3\\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix}=\begin{matrix} \rightarrow \\ \;- \\ \; \end{matrix}\begin{vmatrix} 0 & -4 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ 3 & -5 & 7 \end{vmatrix}=-1\cdot(-4)\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 7 \end{vmatrix}=-4\neq0,

тобто r({A}')=4. Ранги матриць A і {A}' різні, отже, досліджувана система несумісна.


Висновки
Таким чином, можна виділити два основних випадки:

  1. Якщо ранг матриці системи r дорівнює числу рівнянь n, то система має єдине рішення;
  2.  Якщо ранг матриці системи r менше числа невідомих n і система сумісна, то система має безліч розв’язків. У цьому випадку (n — r) невідомих можуть бути обрані довільно, а r невідомих,що залишилися, визначаються єдиним образом.


Материалы из раздела линейная алгебра: Элементы теории определителей и матриц; Решение систем линейных уравнений; Модифицированный метод Гаусса для решения СЛУ; Пример 1 (матрицы); Пример 2 (определители).

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!