Задание 58

Решить неравенство $$\sqrt{x+6} > \sqrt{x+1} + \sqrt{2x-5}$$

Решение

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} x+6\geqslant 0 \\ x+1\geqslant 0 \\ 2x-5\geqslant 0 \end{matrix}\right.$$

или $$x \geqslant \frac{5}{2}$$

Левая и правая части неравенства неотрицательны (квадратный корень и сумма квадратных корней неотрицательны), возведем в квадрат

$$x+6 > x+1+2x-5+2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5}$$

$$2\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < -2x+10$$ Разделим на положительное число 2, при этом знаки неравенства сохраняются $$\sqrt{x+1}\sqrt{2x-5} < 5-x$$ Левая часть неотрицательна, тогда требуем, чтоб и правая часть была неотрицательной для того, чтобы возвести в квадрат. Получим дополнительное условие $$5-x \geqslant 0$$ или $$x \leqslant 5$$. Возводим в квадрат $$(x+1)(2x-5) < 25+x^2-10x$$ После раскрытия скобок, переноса в левую часть и приведения подобных слагаемых, получим

$$x^2+7x-30 < 0$$ По теореме Виета найдем корни квадратного уравнения $$x^2+7x-30=0$$: $$x_1=-10$$, $$x_2=3$$

Тогда неравенство перепишем в виде

$$(x+10)(x-3) < 0$$ Решая его методом интервалов, получим $$x\in (-10; 3)$$ С учетом ОДЗ и дополнительного условия получим $$x\in [2,5; 3)$$ Ответ: $$x\in [2,5; 3)$$.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.