Аналитическая геометрия

Приведення рівнянь ліній другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння лінії другого порядку

Загальне рівняння лінії другого порядку має вид

Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0,

де коефіцієнти A,\;B,\;C одночасно в нуль не обертаються. За допомогою перетворення системи координат рівняння лінії другого порядку можна привести до найпростішого (канонічного) виду.

Загальне рівняння кола

Якщо в загальному рівнянні A=C,\;B=0, то отримаємо коло. Значить загальне рівняння кола має вид

Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.

Після ділення його на A, виділення повних квадратів по x і по y, позначимо

a=-\frac{D}{A},\;b=-\frac{E}{A},\;R^2=\frac{D^2+E^2-AF}{A^2}.

Примітка. Для дійсного кола D^2+E^2-AF>0, при D^2+E^2-AF=0 загальне рівняння кола визначає лише одну дійсну точку \left ( -\frac{D}{A} ;-\frac{E}{A}\right ), тоді як при D^2+E^2-AF<0 загальному рівнянню кола не задовольняє жодна дійсна точка. Останні два випадки розглядуються як випадки кола з нулевим або уявним радіусом.

Приклад: Приведення загального рівняння кола до канонічного виду.

Канонічний (найпростіший) вид

Якщо в загальному рівнянні лінії другого порядку коефіцієнт B=0, то воно має вид

Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0.

Це рівняння приводять до найпростішого виду за допомогою паралельного переносу вісей координат за формулами

\left\{\begin{matrix} x & = & x' & +&x_0\\ y & = & y' & +&y_0 \end{matrix}\right.

де (x_0;y_0) – координати нового початку O' (у старій системі координат). Нові осі координат паралельні старим. Точка O' є центром еліпса або гіперболи і вершиною – у випадку параболи.

Приведення загального рівняння до найпростішого виду зручно робити методом виділення повних квадратів аналогічно тому, як це виконувалось вище для кола.

Приклади: Еліпс; Гіпербола; Парабола.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!