Система «площина — пряма лінія» у просторі

Згадаємо теоретичні матеріали: Рівняння площини у просторі, Різні види рівняння прямої у просторі, Взаємне розташування двох прямих у просторі.

При сумісному розгляді площини і прямої у просторі актуальними є наступні питання:

а) Кут $$\psi$$ між прямою $$(a)\;\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$ і площиною $$(\alpha)\;Ax+By+Cz+D=0$$ визначається через $$\sin\psi=\cos\phi,$$ $$(\phi+\psi=\frac{\pi}{2})$$.

Розташування прямої a та площини alpha

$$\sin\psi=\frac{\vec{N}\cdot\vec{S}}{|\vec{N}|\cdot|\vec{S}|}=\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$.

Якщо $$a\parallel\alpha\;(\vec{S}\perp\vec{N})$$, то $$Al+Bm+Cn=0$$.

Якщо $$a\perp\alpha\;(\vec{S}\parallel\vec{N})$$, то $$\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$$.

б) Якщо пряма $$a$$ і площина $$\alpha$$ перетинаються, то точка їх перетину визначається наступним чином: використовується рівняння прямої в параметричній формі: значення $$x$$, $$y$$ і $$z$$ виражають через $$t$$, підставляють в рівняння площини, в наслідок чого отримуємо рівняння, яке залежить від однієї змінної $$t$$. Його розв’язування дає значення $$t_0$$, яке підставляється у вирази $$x$$, $$y$$ і $$z$$ через $$t$$. Знаходять $$P(x_0;y_0;z_0)$$.

Якщо канонічне рівняння прямої задовольняється при будь-якому значенні $$t$$, то пряма не перетинає площину, а повністю лежить на цій площині. В цьому випадку $$Al+Bm+Cn=0$$ (паралельність прямої і площини) і $$A x_0+B y_0+C z_0+D=0$$ (задана точка прямої належить площині).

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!