Углы и окружность

Центральный и вписанный углы

Центральный угол — плоский угол с вершиной в центре окружности (слева на рисунке).

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (справа на рисунке).

Центральный и внутренний углы

Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

Свойства вписанных углов

Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до $$180^{\circ}.$$

Связь между центральным и вписанным углами

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Равенство вписанных углов, опирающихся на одну дугу

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $$90^{\circ}$$ (прямой угол).

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Радианное и градусное измерение углов

Если $$\alpha^{\circ}$$ — величина угла в градусах, а $$\beta$$ — в радианах, то

$$\alpha^{\circ}=\frac{\beta\cdot180^{\circ}}{\pi}, \beta=\frac{\alpha^{\circ}\cdot\pi}{180^{\circ}}$$

Теоремы об углах, связанных с окружностью

Теорема (угол между пересекающимися хордами)

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.

Теорема (угол между секущими)

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Теорема (угол между касательными)

Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания)

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Теорема (угол между касательной и секущей)

Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.