В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем задачу по планиметрии.
Задача
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает этот треугольник на два треугольника с периметрами 16 см и 18 см. Найти гипотенузу треугольника.
Решение:
Медиана, проведенная к стороне треугольника, делит эту сторону пополам. При решении задачи воспользуемся тем фактом, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ см и $$b$$ см, а гипотенуза равна $$c$$ см. Значит получили два треугольника соответственно со сторонами $$a,\frac{c}{2},\frac{c}{2}$$ и $$b,\frac{c}{2},\frac{c}{2}$$. Так как периметры треугольников равны 16 см и 18 см, то получим уравнения
$$a+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}=16$$ и $$b+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}=18$$.
Из первого уравнения выразим $$a$$, а из второго – выразим $$b$$
$$a=16-c,\;b=18-c$$.
Воспользуемся теоремой Пифагора
$$c^2=a^2+b^2$$
Подставим в это соотношение значения для катетов
$$c^2=(16-c)^2+(18-c)^2$$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности, и приведем подобные слагаемые. После таких преобразований получим квадратное уравнение относительно $$c$$
$$c^2-68c+580=0$$
По теореме Виета $$c_1=58$$ (посторонний корень, т.к. не удовлетворяет условию задачи) и $$c_2=10$$.
Ответ: 10 см.