Аналитическая геометрия

Задания 33-35 (составить уравнение плоскости)

Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости в пространстве.

Советуем вспомнить теоретический материал по данной теме: уравнение плоскости в пространстве.

Задание 33

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(5; 4; 3) и отсекает равные отрезки на осях координат.

Решение:

Запишем уравнение плоскости в отрезках на осях, в котором a=b=c

\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1\Rightarrow x+y+z=a

Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой плоскости, поэтому должно выполняться равенство 5+4+3=a\Rightarrow a=12.

Значит уравнение искомой плоскости имеет вид

x+y+z-12=0.

Ответ: x+y+z-12=0.

Задание 34

Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения x+y+5z-1=0, 2x+3y-z+2=0 и через точку М(3; 2; 1).

Решение:

Используем уравнение пучка плоскостей

x+y+5z-1+\lambda(2x+3y-z+2)=0

Подставим координаты точки М и найдем \lambda

3+2+5-1+\lambda(6+6-1+2)=0\Rightarrow \lambda=-\frac{9}{13}

Уравнение плоскости имеет вид

x+y+5z-1-\frac{9}{13}(2x+3y-z+2)=0

Или, после умножения на 13 и приведения подобных членов, получим

-5x-14y+74z-31=0

5x+14y-74z+31=0

Ответ: 5x+14y-74z+31=0.

Задание 35

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;3;5) и перпендикулярной вектору \vec{N}(4;3;2).

Решение:

Используем формулу для плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору

4(x-2)+3(y-3)+2(z-5)=0

Или, после преобразований

4x+3y+2z-27=0

Ответ: 4x+3y+2z-27=0.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!