Геометрия

Задание 29 (медиана прямоугольного треугольника)

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем задачу по планиметрии.

Задача

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает этот треугольник на два треугольника с периметрами 16 см и 18 см. Найти гипотенузу треугольника.

Решение:

Медиана, проведенная к стороне треугольника, делит эту сторону пополам. При решении задачи воспользуемся тем фактом, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a см и b см, а гипотенуза равна c см. Значит получили два треугольника соответственно со сторонами a,\frac{c}{2},\frac{c}{2} и b,\frac{c}{2},\frac{c}{2}. Так как периметры треугольников равны 16 см и 18 см, то получим уравнения

a+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}=16 и b+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}=18.

Из первого уравнения выразим a, а из второго — выразим b

a=16-c,\;b=18-c.

Воспользуемся теоремой Пифагора

c^2=a^2+b^2

Подставим в это соотношение значения для катетов

c^2=(16-c)^2+(18-c)^2

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности, и приведем подобные слагаемые. После таких преобразований получим квадратное уравнение относительно c

c^2-68c+580=0

По теореме Виета c_1=58 (посторонний корень, т.к. не удовлетворяет условию задачи) и c_2=10.

Ответ: 10 см.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!