Тригонометрия

Задание 9 (Геометрия. Тригонометрия. Прогрессии)

Может ли существовать прямоугольный треугольник, у которого синусы углов образуют арифметическую прогрессию?

Решение:

Очевидно, что это не может быть равнобедренный треугольник, поэтому если один из углов будет равен  $$\alpha\;\left (0<\alpha<\frac{\pi}{4} \right ),$$ то другой угол будет  $$\frac{\pi}{2}-\alpha.$$

Так как в первой четверти синус возрастает, то расположение членов предполагаемой арифметической прогрессии будет следующим:

$$a_{1}=\sin\alpha;\;a_{2}=\sin\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right );\;a_{3}=\sin\frac{\pi}{2}$$

$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\Rightarrow 2a_{2}=a_{1}+a_{3}$$

$$2\sin\left ( \frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\sin\alpha+\sin\frac{\pi}{2}$$

$$2\cos\alpha=\sin\alpha+1$$

$$\sin\alpha-2\cos\alpha=-1$$

По формулам преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

 $$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi);\text{tg} \phi=\frac{b}{a};\;\sin \phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}};\;\cos \phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

$$a=1,\;b=2$$

$$\sqrt{5}\sin(\alpha-\text{arctg}2)=-1$$

$$\sin(\alpha-\text{arctg}\,2)=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$\alpha-\text{arctg}\,2=\arcsin\left (-\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$$

$$\alpha=\text{arctg}\,2-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Возьмем тангенс от обеих частей:

$$\text{tg}\,\alpha=\text{tg}\,\left (\text{arctg}\,2-\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$$

По формулам суммы и разности углов тригонометрических функций:

 $$\text{tg}\,\left (x-y \right )=\frac{\text{tg}\, x-\text{tg}\, y}{1+\text{tg}\, x \cdot \text{tg}\, y}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{\text{tg}\, \left (\text{arctg}\,2 \right )-\text{tg}\, \left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}\right )}{1+\text{tg}\, \left (\text{arctg}\,2 \right ) \cdot \text{tg}\, \left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}\right )}$$

$$\arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}=\phi\Rightarrow \sin\phi=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow a=2,\; b=1\Rightarrow \text{tg}\,\phi=\frac{1}{2}$$

$$\text{tg}\,\left ( \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}} \right )=\frac{1}{2}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{2-\frac{1}{2}}{1+2\cdot\frac{1}{2}}$$

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{3}{4}$$

$$\alpha=\text{arctg}\,\frac{3}{4}$$

Так как $$0<\frac{3}{4}<1,$$ то $$0<\alpha<\frac{\pi}{4}$$ и такой треугольник существует.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!