Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 32 завдання

Рассмотрим геометрическую задачу (задание №32 ПЗНО 2013 по математике).

Задание №32

Основою прямої призми $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ є ромб $$ABCD,$$ у якому більша діагональ $$AC=17$$ см. Об’єм призми дорівнює 1020 см3. Через діагональ $$AC$$ та вершину $$B_1$$ тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи кут $$\alpha.$$ Знайдіть площу утвореного перерізу призми (у см2), якщо $$\text{tg}\,\alpha=2.4.$$

Решение:

В сечении мы получили треугольник $$AB_1C.$$ Вспомним формулу площади треугольника \(S_{\triangle}= \frac{1}{2}a\cdot h_a.\)

В нашем случае \(a\) — известная диагональ ромба \(AC,\) а \(h_a = B_1E,\) т.е. $$S_{AB_1C}=\frac{1}{2}AC\cdot B_1E.$$

Объем призмы вычисляется по формуле \(V = S\cdot H,\) где \(S \) — площадь основания, \( H\) — высота призмы.

Т.к. призма прямая, то \( H = AA_1=BB_1=CC_1=DD_1.\) По условию основанием призмы является ромб, тогда площадь основания вычисляется по формуле \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC\cdot BD.\)

Следовательно объем призмы можно найти по формуле $$V =\frac{1}{2}AC\cdot BD \cdot BB_1.$$

$$BB_1$$ найдем из прямоугольного треугольника \( BB_1E:\)

$$BB_1=BE\cdot\text{tg}\alpha,$$ $$\text{tg}\alpha = 2.4,$$ $$BE=\frac{1}{2}BD$$ => $$BB_1 = \frac{1}{2}BD\cdot2.4=1.2\cdot BD.$$

Подставим $$BB_1$$ в формулу объема призмы $$V=\frac{1}{2}AC\cdot BD \cdot1.2\cdot BD=0.6\cdot AC\cdot BD^2.$$

Так как объем призмы равен 1020 см3, $$AC=17$$ см, то $$BD^2=\frac{1020}{0.6\cdot17}=100$$ см2.

Тогда $$BD=10$$ см => $$BE=5$$ см и $$BB_1=12$$ см.

Найдем $$B_1E$$ по теореме Пифагора: $$B_1E=\sqrt{BB_1^2+BE^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$$ см.

$$S_{AB_1C}=\frac{1}{2}\cdot17\cdot13=110.5$$ см2.

Ответ: 110.5.

Другие задания ПЗНО 2013: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16; 17-20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 3133.

Поделиться

Обратите внимание

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 1-4

Если Вы набрали малое количество баллов в бесплатном онлайн тесте ПЗНО 2013, то в рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 5-8

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО по математике предлагаем ознакомиться с решением четырех тестовых заданий (задания 5-8) пробного ЗНО 2013 от...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 9-12

Продолжаем готовиться к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) по математике. Предлагаем решения следующих четырех тестовых заданий с выбором одного...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 13-16

Мы уже рассмотрели решения двенадцати тестовых заданий (1-4; 5-8; 9-12) с выбором 1 правильного ответа пробного ЗНО по математике от 30 марта...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Четверта частина

Завдання та розв'язки четвертої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 63 (наименьшее сечение куба)

Найдите наименьшее значение площади сечения куба со стороной 1, проходящего через его диагональ.