ЗНО 2013 з математики

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 31 завдання

Рассмотрим задачу (задание №31 ПЗНО 2013 по математике) на  геометрический смысл определенного интеграла.

Задание №31

У прямокутній системі координат зображено ескіз графіка функції $$y=\frac{x^3}{2}+x$$  і пряму, задану рівнянням $$x=a$$ (див. рисунок). При якому додатному значенні $$a$$ площа заштрихованої фігури дорівнюватиме 40 кв. од.?

Пробне ЗНО 2013. Математика. Завдання 31

Решение:

Первая часть задания сводится к нахождению определенного интеграла $$\int\limits_{0}^{a}\left (\frac{x^3}{2}+x\right )dx$$ (предлагаем вспомнить геометрический смысл).

При решении будем пользоваться свойствами, таблицей основных неопределенных интегралов и формулой Ньютона-Лейбница

$$S=\int\limits_{0}^{a}\left (\frac{x^3}{2}+x\right )dx=\left (\frac{x^4}{8}+\frac{x^2}{2}\right )|_{0}^{a}=\frac{a^4}{8}+\frac{a^2}{2}.$$

Приступим ко второй части: найдем значение параметра $$a >0,$$ при котором площадь заштрихованной фигуры равна 40 кв. ед.

$$\frac{a^4}{8}+\frac{a^2}{2}=40$$

$$a^4+4a^2-320=0$$

Получили биквадратное уравнение, которое сводится к квадратному заменой $$a^2=t >0.$$

$$t^2+4t-320=0$$

По теореме Виета: $$t_1=16, t_2=-20$$ (посторонний корень)

Обратная замена $$a^2=16\Rightarrow a=4$$ (учли $$a >0$$).

Ответ: 4.

Другие задания ПЗНО: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16; 17-20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 32; 33.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!