Числа, выражающие длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Меньший катет этого треугольника равен $$a.$$ Найти площадь треугольника.
Решение:
$$a_{1},a_{2}, a_{3}$$ – арифметическая прогрессия.
$$a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d$$
$$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ – катеты, $$a_{3}$$ – гипотенуза прямоугольного треугольника.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
$$a_{3}^2=a_{1}^2+a_{2}^2$$
По условию $$a_{1}=a\Rightarrow a_{2}=a+d,\; a_{3}=a+2d$$
Получили квадратное уравнение относительно переменной $$d:$$
$$\left (a+2d \right )^2=a^2+\left ( a+d \right )^2$$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$$a^2+4d^2+4ad=a^2+a^2+d^2+2ad$$
Приведем подобные слагаемые:
$$3d^2+2ad-a^2=0$$
Найдем корни квадратного уравнения:
$$D_{1}=a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2$$
$$d_{1}=\frac{-a-2a}{3}=-a$$ – посторонний корень
$$d_{2}=\frac{-a+2a}{3}=\frac{1}{3}a$$
$$d=\frac{1}{3}a\Rightarrow a_{2}=a+\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}a, \; a_{3}=a+\frac{2}{3}a=\frac{5}{3}a$$
Найдем площадь прямоугольного треугольника:
$$S=\frac{1}{2}\cdot a_{1}\cdot a_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{4}{3}a$$
$$S=\frac{2}{3}a^2$$