Геометрия

Задание 8 (Прогрессии. Геометрия)

Числа, выражающие длины сторон прямоугольного треугольника, образуют арифметическую прогрессию. Меньший катет этого треугольника равен $$a.$$ Найти площадь треугольника.

Решение:

$$a_{1},a_{2}, a_{3}$$ — арифметическая прогрессия.

$$a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d$$

$$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ — катеты, $$a_{3}$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

$$a_{3}^2=a_{1}^2+a_{2}^2$$

По условию $$a_{1}=a\Rightarrow a_{2}=a+d,\; a_{3}=a+2d$$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $$d:$$

$$\left (a+2d \right )^2=a^2+\left ( a+d \right )^2$$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$$a^2+4d^2+4ad=a^2+a^2+d^2+2ad$$

Приведем подобные слагаемые:

$$3d^2+2ad-a^2=0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$D_{1}=a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2$$

$$d_{1}=\frac{-a-2a}{3}=-a$$ — посторонний корень

$$d_{2}=\frac{-a+2a}{3}=\frac{1}{3}a$$

$$d=\frac{1}{3}a\Rightarrow a_{2}=a+\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}a, \; a_{3}=a+\frac{2}{3}a=\frac{5}{3}a$$

Найдем площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a_{1}\cdot a_{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{4}{3}a$$

$$S=\frac{2}{3}a^2$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!